ระบบควบคุมแบบ Feedback และการคำนวณ Stability

นางสาวจตุพร ทองคงอ่วม 37051224
นายอานนท์ ศรีเจริญชัย 37056140

สารบัญ

บทนำ

ในปัจจุบันนี้ระบบควบคุมอัตโนมัติได้เข้ามามีบทบาทสำคัญต่อการพัฒนาความเจริญก้าวหน้าทางเทคโนโลยีมากมายนัก ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดในชีวิตประจำวันได้แก่ระบบควบคุมในเครื่องปรับอากาศซึ่งจะคอยควบคุมอุณหภูมิภายในห้องให้คงที่ ในอุตสาหกรรมได้มีการนำระบบควบคุมอัตโนมัติไปใช้ควบคุมคุณภาพของผลิตภัณฑ์, ควบคุมการทำงานของเครื่องจักร และอื่นๆอีกมากมาย เทคโนโลยีทางด้านอวกาศและการผลิตอาวุธยุทโธปกรณ์ก็ได้มีการนำระบบควบคุมไปใช้ในระบบนำวิถี, ระบบควบคุมการเผาไหม้ของเชื้อเพลิง เป็นต้น
รูปที่ 1
รูปที่ 1 แสดงถึงโครงสร้างพื้นฐานของระบบควบคุม โดยผลลัพธ์ที่ออกทางเอาท์พุท (แทนโดยตัวแปร c) จะถูกควบคุมโดยสัณญาณกระตุ้น e ผ่านทางองค์ประกอบต่างๆซึ่งอยู่ภายใน controlled process

ในการควบคุมพวงมาลัยของรถยนต์ สัญญาณกระตุ้น e ได้แก่ ตำแหน่งของพวงมาลัย ส่วนตัวแปรเอาท์พุท c ได้แก่ ทิศทางของล้อหน้า ในส่วนของ controlled process จะประกอบด้วยกลไกต่างๆของพวงมาลัย เช่น การทดเฟือง และรวมถึงลักษณะการเคลื่อนที่ของล้อด้วย

ระบบควบคุมแบบวงเปิดหรือระบบควบคุมแบบไม่ป้อนกลับ (Open-loop Control Systems, Nonfeedback Control Systems)

ระบบควบคุมพื้นฐานที่กล่าวถึงในหัวข้อที่แล้วเป็นระบบควบคุมแบบวงเปิด ในระบบควบคุมแบบวงเปิดนี้การควบคุมส่วนใหญ่ต้องอาศัยการคาดคะเนและการตัดสินใจของมนุษย์ ตัวอย่างเช่น การควบคุมอุณหภูมิภายในห้องโดยเตาผิง ถ้าเตาผิงที่ใช้มีเพียงอุปกรณ์ตั้งเวลาเปิด-ปิดเท่านั้น ผู้ใช้หรือผู้ควบคุมจะต้องคาดคะเนและตั้งเวลาในการเปิดเตาผิงที่นานพอเหมาะเพื่อให้อุณหภูมิห้องอยู่ในระดับที่ต้องการ แต่การควบคุมโดยมนุษย์เช่นนี้ดูจะไม่แม่นยำและน่าเชื่อถือนัก เนื่องจากผู้ควบคุมไม่สามารถรู้ถึงคุณสมบัติเฉพาะในการสร้างความร้อนของเตาผิงนี้ อีกทั้งยังมีปัจจัยต่างๆจากภายนอก เช่น อุณหภูมิภายนอกห้องที่มีผลต่อการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิภายในห้อง จะเห็นได้ว่าระบบควบคุมแบบวงเปิดนี้ไม่สามารถปรับตัวตามการเปลี่ยนแปลงของระบบอันเนื่องมาจากปัจจัยจากภายนอกได้

เครื่องซักผ้าอัตโนมัติเป็นระบบที่มีการควบคุมแบบวงเปิดเนื่องจากผู้ควบคุมที่เป็นมนุษย์จะเป็นผู้กำหนดเวลาที่ใช้ในการซักผ้า ซึ่งจริงๆแล้วเครื่องซักผ้าอัตโนมัติที่แท้จริงควรจะมีระบบตรวจสอบความสะอาดของผ้าตลอดเวลาที่ซัก เมื่อผ้ามีความสะอาดถึงระดับที่ต้องการแล้วเครื่องซักผ้าก็ควรจะหยุดการทำงานโดยอัตโนมัติ

รูปที่ 2
แผนผังของระบบควบคุมแบบวงเปิดสามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่งดังรูปที่ 2 โดยสัญญาณอินพุทหรือสัญญาณสั่งการ r ส่งผ่าน controller ออกมาเป็นสัญญาณกระตุ้น e เพื่อสั่งให้ controlled process ขับเอาท์พุท c ที่ต้องการออกมา

ระบบควบคุมแบบวงปิดหรือระบบควบคุมแบบป้อนกลับ (Closed-loop Control Systems, Feedback Control Systems)

จากหัวข้อที่แล้วจะเห็นว่าเมื่อปัจจัยภายนอกมามีอิทธิพลต่อระบบจะทำให้ผู้ควบคุมไม่สามารถควบคุมเอาท์พุทให้เป็นไปตามต้องการได้ ในหัวข้อนี้ได้แก้ไขโดยการส่งสัญญาณเอาท์พุท c(t) ป้อนกลับมาเปรียบเทียบกับสัญญาณสั่งการหรือสัญญาณอ้างอิง r จะได้ค่าความคลาดเคลื่อนระหว่างสัญญาณเอาท์พุทกับสัญญาณอ้างอิงทางด้านอินพุทเพื่อนำไปสร้างสัญญาณกระตุ้น e และส่งต่อไปแก้ไขค่าความคลาดเคลื่อน (error) ของเอาท์พุทให้น้อยลง ระบบที่กล่าวมานี้เรียกว่าระบบควบคุมแบบป้อนกลับ กิจกรรมส่วนใหญ่ที่มนุษย์ปฏิบัติในชีวิตประจำวันนั้นเป็นตัวอย่างหนึ่งของระบบควบคุมแบบป้อนกลับที่ซับซ้อน เช่น ในการใช้ตะเกียบคีบลูกชิ้นเข้าปาก สมองของมนุษย์จะสั่งการให้แขนข้างที่ถือตะเกียบนำลูกชิ้นเข้าปาก ตำแหน่งของลูกชิ้นที่เป็นเอาท์พุทจะถูกป้อนกลับมายังตาของมนุษย์เพื่อเปรียบเทียบระยะทางระหว่างลูกชิ้นกับปาก ในที่นี้สัญญาณอ้างอิง r คือตำแหน่งของปาก ส่วนสัญญาณเอาท์พุท c คือตำแหน่งของลูกชิ้น ถ้าระยะทางยังมีค่าความคลาดเคลื่อนอยู่สมองก็จะยังคงสั่งให้แขนเคลื่อนที่ต่อไปเพื่อให้ลูกชิ้นเข้าใกล้ปากมากยิ่งขึ้น จนกระทั่งค่าความคลาดเคลื่อนเป็นศูนย์ก็จะสั่งให้แขนหยุด รูปที่ 3 แสดงถึงแผนผังของระบบควบคุมแบบป้อนกลับในการใช้ตะเกียบคีบลูกชิ้นเข้าปาก
รูปที่ 3
 
รูปที่ 4
รูปที่ 4 เป็นระบบควบคุมแบบป้อนกลับที่ใช้ในการหมุนมอเตอร์ไปยังตำแหน่งที่ผู้ควบคุมกำหนด ในระบบนี้จะใช้โพเทนชิโอมิเตอร์ตรวจจับค่าความคลาดเคลื่อนระหว่างตำแหน่งของมอเตอร์จริงๆที่เป็นเอาท์พุท และตำแหน่งของมอเตอร์ที่กำหนดโดยผู้ควบคุมซึ่งเป็นสัญญาณอินพุทอ้างอิง ค่าความคลาดเคลื่อนจะเปลี่ยนเป็นค่าแรงดันไฟฟ้า e(t) แล้วนำไปขยายแรงดันเพื่อขับมอเตอร์ให้หมุนไปยังทิศทางที่ทำให้ตำแหน่งของมอเตอร์มีค่าความคลาดเคลื่อนน้อยลง
รูปที่ 5
เมื่อลองให้สัญญาณอินพุท r(t) เปลี่ยนค่าจากศูนย์ไปเป็น R ในทันทีทันใดดังรูปที่ 5(a) ค่าสัญญาณเอาท์พุทจะมีลักษณะดังรูปที่ 5(b)  เนื่องมาจากความเฉื่อยทางกลและทางไฟฟ้าจะทำให้ตำแหน่งของเอาท์พุทไม่เปลี่ยนแปลงอย่างทันทีทันใด แต่จะค่อยๆวิ่งเข้าสู่ตำแหน่งที่กำหนดโดยอินพุท และอาจจะมีการแกว่งไปมารอบๆตำแหน่งที่กำหนดโดยอินพุท การแกว่งนี้จะค่อยๆลดน้อยถอยลงจนกระทั่งเอาท์พุทอยู่ในตำแหน่งที่กำหนดโดยอินพุทอย่างคงที่คืออยู่ใน steady state

สิ่งที่ต้องระวังในระบบควบคุมแบบป้อนกลับคือความไม่เสถียรของระบบ ถ้าหากสัญญาณ e(t) ถูกขยายมากเกินไปก็อาจจะทำให้เกิดการแก้ไขค่าความคลาดเคลื่อนของเอาท์พุทแบบ "overcorrect" และเอาท์พุทจะแกว่งในลักษณะที่ลู่ออกโดยไม่มีขอบเขต แต่ถ้าสัญญาณ e(t) ถูกขยายน้อยเกินไปก็จะทำให้เอาท์พุทมีค่าไม่ตรงกับค่าที่กำหนดโดยอินพุทเมื่อเอาท์พุทเข้าสู่ steady state  ดังนั้นผู้ออกแบบระบบควบคุมแบบป้อนกลับจึงต้องหาจุดที่เหมาะสมระหว่างปัจจัยสองอย่างคือ ความเที่ยงตรง และความเสถียร ซึ่งปัจจัยทั้งสองนี้แปรผกผันกัน

ส่วนประกอบพื้นฐานของระบบควบคุมแบบป้อนกลับ

จากหลักการพื้นฐานของระบบควบคุมแบบป้อนกลับสามารถกล่าวได้ว่า ระบบควบคุมแบบป้อนกลับประกอบด้วยเส้นทางหรือวงรอบของสัญญาณป้อนกลับซึ่งเป็นสัญญาณเอาท์พุท c ตั้งแต่หนึ่งวงรอบขึ้นไป แล้วนำสัญญาณป้อนกลับนี้มาเปรียบเทียบกับสัญญาณสั่งการหรือสัญญาณอ้างอิง r จะได้ผลต่างระหว่างสัญญาณทั้งสองเป็น e = r - c เพื่อนำไปควบคุมสัญญาณเอาท์พุท c ให้มีค่าตามที่กำหนดโดยสัญญาณอ้างอิง r
รูปที่ 6
รูปที่ 6 แสดงแผนผังของระบบควบคุมแบบป้อนกลับ ระบบควบคุมนี้ประกอบด้วยส่วน forward (forward path), ส่วนป้อนกลับ (feedback path) และส่วนตรวจจับค่าความคลาดเคลื่อน (error-sensing device) ส่วนตรวจจับค่าความคลาดเคลื่อนนี้จะเปรียบเทียบค่าสัญญาณอินพุทอ้างอิงกับค่าสัญญาณเอาท์พุทจริงๆหรือค่าที่เป็นฟังก์ชันของสัญญาณเอาท์พุท แล้วส่งสัญญาณที่เกิดจากผลต่างของสัญญาณทั้งสองนี้ออกไป

ชนิดของระบบควบคุมแบบป้อนกลับ

ถ้าพิจารณาในแง่วิธีการในการวิเคราะห์และออกแบบระบบแล้ว ระบบควบคุมแบบป้อนกลับสามารถแบ่งได้เป็นสองชนิด คือ ระบบควบคุมป้อนกลับแบบเชิงเส้น และระบบควบคุมป้อนกลับแบบไม่เป็นเชิงเส้น ในทางปฏิบัติแล้วระบบที่เป็นเชิงเส้นจะไม่มีอยู่จริงเนื่องจากลักษณะทางกายภาพของระบบทุกระบบจะเป็นเชิงเส้นในขอบเขตหนึ่งเท่านั้น ดังนั้นระบบแบบเชิงเส้นจึงเป็นเพียงระบบที่สมมุติขึ้นมาเพื่อให้ง่ายต่อการวิเคราะห์และออกแบบเท่านั้น ในระบบควบคุมแบบป้อนกลับจะมีขอบเขตการทำงานที่เป็นเชิงเส้นของระดับสัญญาณกระตุ้น e ซึ่งสามารถนำมาใช้ในแบบจำลองแบบเชิงเส้นได้ เมื่อระดับสัญญาณกระตุ้น e อยู่นอกขอบเขตที่เป็นเชิงเส้นนี้ระบบควบคุมแบบป้อนกลับก็จะเข้าสู่สภาวะที่ไม่เป็นเชิงเส้น

แต่ถ้าพิจารณาในแง่ของลักษณะสัญญาณที่เกิดขึ้นภายในระบบ ก็จะสามารถแบ่งชนิดของระบบควบคุมแบบป้อนกลับได้เป็น ระบบที่มีสัญญาณต่อเนื่อง (continuous-data system) และ ระบบที่มีสัญญาณไม่ต่อเนื่อง (discrete-data system) หรือระบบที่มีการสุ่มตัวอย่างของสัญญาณ (sampled-data system)

ระบบควบคุมแบบป้อนกลับชนิดที่มีสัญญาณต่อเนื่อง (Continuous-data Feedback Control System)

ระบบนี้เป็นระบบที่สัญญาณต่างๆภายในระบบเป็นสัญญาณที่เป็นฟังก์ชันแบบต่อเนื่องเมื่อตัวแปรของฟังก์ชันเป็นเวลา t  ถ้าสัญญาณแบบต่อเนื่องในระบบนี้อยู่ในลักษณะที่ถูก modulated จะเรียกระบบนี้ว่า ระบบ a-c carrier system แต่ถ้าสัญญาณอยู่ในลักษณะที่เป็น unmodulated ก็จะเป็นระบบ d-c carrier system  รูปที่ 8 เป็นตัวอย่างของระบบ servo ที่เป็น d-c carrier system จะสังเกตเห็นว่าสัญญาณต่างๆในระบบเป็นสัญญาณความถี่ต่ำและอยู่ในลักษณะที่ unmodulated  รูปที่ 9 เป็นแผนผังของระบบ servo ที่เป็น a-c carrier system  สัญญาณที่เกิดขึ้นจริงๆในระบบควบคุมนี้จะปรากฏในลักษณะที่เป็นเปลือกที่ห่อหุ้มสัญญาณพาหะอีกชั้นหนึ่ง อุปกรณ์ที่เรียกว่า synchro ทั้งสองตัวทำหน้าที่เป็น modulator ซึ่งทำหน้าที่ modulate สัญญาณอินพุทอ้างอิง r และสัญญาณป้อนกลับ c  ส่วนมอเตอร์ทำหน้าที่เป็น demodulator ซึ่งแปลงสัญญาณให้กลับมาอยู่ในลักษณะที่ unmodulated
รูปที่ 8
 
รูปที่ 9
ในทางปฏิบัติจริงๆจะไม่ใช้ระบบที่เป็น d-c หรือ a-c เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่จะรวมส่วนประกอบทั้งสองแบบเข้าด้วยกันโดยใช้ modulator และ demodulator เพื่อแปลงสัญญาณ ณ จุดต่างๆของระบบ

ระบบควบคุมที่มีการสุ่มตัวอย่างของสัญญาณและระบบควบคุมที่มีสัญญาณไม่ต่อเนื่อง (Sampled-data and Discrete-data Control System)

ระบบควบคุมที่มีการสุ่มตัวอย่างของสัญญาณและระบบควบคุมแบบสัญญาณดิจิตอลจะมีสัญญาณที่อยู่ในลักษณะของขบวนของพัลส์หรือรหัสที่เป็นเชิงตัวเลข โดยปกติระบบที่มีการสุ่มตัวอย่างของสัญญาณจะหมายถึงระบบที่มีสัญญาณในลักษณะของขบวนของพัลส์ ส่วนระบบควบคุมแบบสัญญาณดิจิตอลจะหมายถึงระบบที่มีคอมพิวเตอร์หรืออุปกรณ์ตรวจจับสัญญาณแบบดิจิตอลเป็นส่วนประกอบ ในที่นี้ระบบควบคุมที่มีสัญญาณไม่ต่อเนื่องจะมีความหมายครอบคลุมถึงทั้งระบบแบบสุ่มตัวอย่างของสัญญาณและระบบแบบดิจิตอล
รูปที่ 10
ระบบที่มีสัญญาณไม่ต่อเนื่องจะตรวจจับสัญญาณเข้ามาในลักษณะของพัลส์โดยแต่ละพัลส์จะใช้เวลาเพียงช่วงสั้นๆเท่านั้น ดังนั้นระบบจะไม่ได้รับข้อมูลของสัญญาณในช่วงเวลาที่อยู่ระหว่างพัลส์ที่อยู่ติดกันเลย รูปที่ 10 แสดงถึงการทำงานของระบบควบคุมที่มีการสุ่มตัวอย่างของสัญญาณ สัญญาณอินพุท r(t) ที่เป็นสัญญาณแบบต่อเนื่องถูกส่งเข้าระบบและเปรียบเทียบกับสัญญาณป้อนกลับ c(t) ที่เป็นสัญญาณแบบต่อเนื่องเช่นกัน จะได้สัญญาณค่าความคลาดเคลื่อน e(t) ที่ต่อเนื่อง และส่งต่อไปเพื่อสุ่มตัวอย่างสัญญาณโดยอุปกรณ์สุ่มตัวอย่าง (sampler) ได้สัญญาณที่เป็นขบวนของพัลส์ โดยปกติอุปกรณ์สุ่มตัวอย่างจะสุ่มตัวอย่างสัญญาณในอัตราที่คงที่ แต่ในบางกรณีการสุ่มตัวอย่างอาจจะอยู่ในลักษณะที่เป็น periodic, cyclic, multirate, skip-rate, random, และ pulse-width modulated
รูปที่ 11
รูปที่ 11 แสดงแผนผังของระบบควบคุมแบบดิจิตอล ในระบบนี้จำเป็นต้องมีตัวแปลงสัญญาณจากอนาล็อกไปเป็นดิจิตอล และตัวแปลงสัญญาณจากดิจิตอลกลับมาเป็นอนาล็อกเนื่องจากคอมพิวเตอร์สามารถประมวลผลข้อมูลและส่งผลลัพธ์ออกมาเป็นข้อมูลที่เป็นดิจิตอลเท่านั้น

เอาท์พุทของอุปกรณ์สุ่มตัวอย่างจะเป็นขบวนของพัลส์โดยที่แอมพลิจูดของแต่ละพัลส์จะเท่ากับแอมพลิจูดของสัญญาณอินพุทที่ตรงกับช่วงเวลาที่อยู่ในช่วงความกว้างของพัลส์นั้น แต่การวิเคราะห์ระบบที่สุ่มตัวอย่างสัญญาณโดยมีความกว้างของพัลส์นั้นจะต้องอาศัยกระบวนการที่ซับซ้อน ดังนั้นถ้าเอาท์พุทของอุปกรณ์สุ่มตัวอย่างมีความกว้างของพัลส์น้อยมากเมื่อเทียบกับค่า time constant ของส่วนของระบบที่มีสัญญาณต่อเนื่องและเมื่อเทียบกับช่วงเวลาระหว่างการสุ่มตัวอย่างแต่ละครั้ง ก็จะสามารถแทนที่ขบวนของพัลส์ด้วยขบวนของอิมพัลส์ และในการวิเคราะห์ระบบก็จะสามารถแทนที่อุปกรณ์สุ่มตัวอย่างด้วยอุปกรณ์สุ่มตัวอย่างในอุดมคติ (ideal sampler) ซึ่งมีเอาท์พุทเป็นขบวนของอิมพัลส์ได้

ถ้าอินพุทของอุปกรณ์สุ่มตัวอย่างในอุดมคติเป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง e(t) ก็จะได้เอาท์พุทของอุปกรณ์สุ่มตัวอย่างเป็น e*(t) ดังสมการต่อไปนี้

โดยที่ T เป็นช่วงเวลาระหว่างการสุ่มตัวอย่างแต่ละครั้ง

จากสมการจะเห็นว่าอิมพัลส์แต่ละอิมพัลส์จะมีพื้นที่เท่ากับค่าของฟังก์ชัน e(t)  ณ ขณะเวลาที่ t = nT ของอิมพัลส์นั้น

รูปที่ 12
ในระบบควบคุมที่มีการสุ่มตัวอย่างสัญญาณมักจะมีอุปกรณ์ที่เรียกว่า data hold device ดังแสดงในรูปที่ 10  อุปกรณ์นี้จะสร้างสัญญาณที่ต่อเนื่องขึ้นมาใหม่โดยแปลงกลับจากสัญญาณที่ถูกสุ่มตัวอย่าง  hold device ที่ใช้โดยทั่วไปจะอยู่ในลักษณะของ zero-order hold ซึ่งมีความสัมพันธ์ระหว่างอินพุทกับเอาท์พุทดังแสดงในรูปที่ 12 และสามารถเขียนเป็นสมการทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้
h(t) = e(nT)    for   nT < t < (n+1)T
โดยที่ T เป็นช่วงเวลาระหว่างการสุ่มตัวอย่างแต่ละครั้ง

การวิเคราะห์โดเมนของเวลาในระบบควบคุมแบบป้อนกลับ

โดยปกติแล้วการวิเคราะห์การตอบสนองของระบบควบคุมแบบป้อนกลับที่มีต่ออินพุทมักจะวิเคราะห์ในโดเมนของเวลาเพื่อเปรียบเทียบความใกล้เคียงกันของสัญญาณระหว่างสัญญาณอินพุทอ้างอิงและสัญญาณเอาท์พุท

ปกติจะแบ่งฟังก์ชันของ time response ออกเป็น 2 ส่วนคือ transient response และ steady-state response ดังสมการต่อไปนี้

c(t) = ct(t) + css(t)
โดยที่ c(t) คือ time response   ct(t) คือ transient response และ css(t) คือ steady-state response

steady-state response ก็คือฟังก์ชันของการตอบสนองเมื่อเวลาเข้าสู่ infinity   ดังนั้นเมื่อเวลาเข้าใกล้ infinity จะได้ว่า transient response เข้าใกล้ศูนย์ ในระบบควบคุมแบบป้อนกลับนั้น transient response มักจะเกิดจากความเฉื่อยหรือความเสียดทานของระบบ steady-state response จะบอกถึงความเที่ยงตรงในการตอบสนองของระบบ ถ้า steady-state response มีค่าไม่ตรงกับอินพุทของระบบจะเรียกว่าระบบนั้นมี steady-state error

สัญญาณอินพุทที่ใช้วิเคราะห์ transient ในระบบควบคุมแบบป้อนกลับ

ในการวิเคราะห์และออกแบบระบบจำเป็นต้องมีฟังก์ชันอินพุทในรูปแบบพื้นฐานอย่างน้อย 3 รูปแบบ เพื่อใช้ทดสอบประสิทธิภาพของระบบ โดยในการวิเคราะห์ในโดเมนของเวลามักจะมีฟังก์ชันอินพุทพื้นฐานที่ใช้ทดสอบ 3 รูปแบบดังต่อไปนี้
  1. Step Displacement Input โดยที่ R เป็นค่าคงที่และ u(t) เป็น unit step function

  2. Step Velocity Input (Ramp Function)
  3. Acceleration Input (Parabolic Function)
รูปที่ 13 จะแสดงรูปกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานทั้ง 3 ดังกล่าว
รูปที่ 13

ลักษณะที่ใช้บ่งชี้ประสิทธิภาพของระบบควบคุมแบบป้อนกลับ (Time Domain Performance Characteristics of Feedback control Systems)

  1. Steady State Performance
    ค่านี้จะได้จากการหาค่า steady-state error ของการตอบสนองต่อฟังก์ชันอินพุทพื้นฐาน 3 แบบ ดังกล่าวมาในหัวข้อที่แล้ว

  2. Transient Performance

    รูปที่ 14
    ค่านี้จะวิเคราะห์โดยการใส่ unit-step function เป็นอินพุทอ้างอิงและจะได้ผลตอบสนองดังรูปที่ 14   ลักษณะที่สำคัญของผลตอบสนองนี้ได้แก่ นอกจากนี้ยังมีลักษณะที่สำคัญอื่นๆอีก เช่น damping ratio, damping factor และ undamped natural frequency ซึ่งไม่สามารถแสดงในรูปที่ 14 ได้ แต่จะกล่าวถึงในหัวข้อถัดไป

Characteristic Equation ของระบบควบคุมแบบป้อนกลับ

รูปที่ 15 เป็นแผนผังของ transfer function ณ ตำแหน่งต่างๆของระบบควบคุมแบบป้อนกลับ

รูปที่ 15
จากแผนผังจะได้ closed-loop transfer function เป็นดังนี้
M(s)  =  C(s) / R(s) = G(s) / [1 + G(s) H(s)]
characteristic equation ของระบบควบคุมแบบป้อนกลับจะได้มาจากการทำตัวหารของ closed-loop transfer function ให้เป็นศูนย์ดังนี้
1 + G(s) H(s)  =  0

พิจารณา closed-loop transfer function ดังต่อไปนี้
M(s)  =  C(s) / R(s)  =  [ K (s + z1) (s + z2) . . . (s + zm) ] / [ (s + p1) (s + p2) . . . (s + pn) ]
จะได้ว่า -z1, -z2, . . . , -zm เป็น zero ของ transfer function และ -p1, -p2, . . . , -pn เป็น pole ของ transfer function อีกทั้งยังเป็นรากของ characteristic equation อีกด้วย ถ้า M(s) เป็นผลหารที่ประกอบด้วยเศษและส่วนที่เป็น polynomial จะได้ว่า pole และ zero ของ M(s) ประกอบด้วยจำนวนจริงหรือคู่ conjugate ของจำนวนเชิงซ้อนเท่านั้น และสามารถเขียน closed-loop transfer function ได้อีกแบบหนึ่งดังนี้
โดยที่เป็น pole ที่เป็นจำนวนจริง และเป็น pole ที่เป็นคู่ conjugate ของจำนวนเชิงซ้อน

พิจารณาผลตอบสนองของระบบ c(t) จะได้ว่า
แทนค่า R(s) และค่า M(s) โดยที่ r(t) เป็น unit step function จะได้สมการดังนี้
แล้วแบ่งเศษส่วนย่อยดังนี้
โดยที่ A, Bi, Cj, และ Dj เป็นค่าคงที่ ในที่นี้สมมุติว่าไม่มี pole ตัวใดมีค่าซ้ำกัน จากตารางของ Laplace transform จะได้ c(t) เป็นดังนี้

บทสรุป

เอกสารอ้างอิง

[ บทเรียน ] [ 204471 ] [ รายวิชา ]
[ ภาควิชาวิศวกรรมคอมพิวเตอร์ ] [ คณะวิศวกรรมศาสตร์ ] [ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ ]